حل تمرین صفحه 112 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 113 - تمرین 1 این تمرین بر محاسبه مقدار تقریبی ریشه‌های دوم (اعداد گنگ) با روش حدس و آزمایش یا استفاده از مجذورهای کامل تمرکز دارد. هدف این است که مقدار را تا یک رقم اعشار پیدا کنیم. **1. محاسبه $\sqrt{19}$** * ابتدا $\sqrt{19}$ را بین دو مجذور کامل متوالی قرار می‌دهیم: $$ \sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25} \implies 4 < \sqrt{19} < 5 $$ پس حاصل، عددی است بین 4 و 5. چون 19 به 16 نزدیک‌تر است، پس $\sqrt{19}$ به 4 نزدیک‌تر است. * **حدس و آزمایش:** * $4.3^2 = 18.49$ (کوچک‌تر از 19) * $4.4^2 = 19.36$ (بزرگ‌تر از 19) * **نتیجه:** چون $4.3^2 < 19 < 4.4^2$، پس $4.3 < \sqrt{19} < 4.4$. * برای یک رقم اعشار، باید بررسی کنیم که $\sqrt{19}$ به 4.3 نزدیک‌تر است یا 4.4. * میانگین: $\frac{4.3 + 4.4}{2} = 4.35 \implies 4.35^2 = 18.9225$ * چون $19 > 18.9225$، پس $\sqrt{19}$ به 4.4 نزدیک‌تر است. * **پاسخ:** $$ \sqrt{19} \approx 4.4 $$ **2. محاسبه $\sqrt{40}$** * قرار دادن بین مجذورهای کامل: $$ \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \implies 6 < \sqrt{40} < 7 $$ * **حدس و آزمایش:** * $6.3^2 = 39.69$ (کوچک‌تر از 40) * $6.4^2 = 40.96$ (بزرگ‌تر از 40) * **نتیجه:** $6.3 < \sqrt{40} < 6.4$. * بررسی نزدیک بودن: * میانگین: $6.35^2 = 40.3225$ * چون $40 < 40.3225$، پس $\sqrt{40}$ به 6.3 نزدیک‌تر است. * **پاسخ:** $$ \sqrt{40} \approx 6.3 $$ **3. محاسبه $\sqrt{150}$** * قرار دادن بین مجذورهای کامل: $$ \sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169} \implies 12 < \sqrt{150} < 13 $$ * **حدس و آزمایش:** * $12.2^2 = 148.84$ (کوچک‌تر از 150) * $12.3^2 = 151.29$ (بزرگ‌تر از 150) * **نتیجه:** $12.2 < \sqrt{150} < 12.3$. * بررسی نزدیک بودن: * میانگین: $12.25^2 = 150.0625$ * چون $150 < 150.0625$، پس $\sqrt{150}$ به 12.2 نزدیک‌تر است. * **پاسخ:** $$ \sqrt{150} \approx 12.2 $$ **4. محاسبه $\sqrt{385}$** * قرار دادن بین مجذورهای کامل: $$ 19^2 = 361 \quad \text{و} \quad 20^2 = 400 $$ $$ \sqrt{361} < \sqrt{385} < \sqrt{400} \implies 19 < \sqrt{385} < 20 $$ * **حدس و آزمایش:** * $19.6^2 = 384.16$ (کوچک‌تر از 385) * $19.7^2 = 388.09$ (بزرگ‌تر از 385) * **نتیجه:** $19.6 < \sqrt{385} < 19.7$. * بررسی نزدیک بودن: * میانگین: $19.65^2 = 386.1225$ * چون $385 < 386.1225$، پس $\sqrt{385}$ به 19.6 نزدیک‌تر است. * **پاسخ:** $$ \sqrt{385} \approx 19.6 $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 113 - تمرین 2 هدف این تمرین مقایسه اعداد حقیقی، به ویژه اعداد گنگ (مانند ریشه‌های دوم) با اعداد گویا است. برای مقایسه، باید مقادیر تقریبی ریشه‌ها را تا چند رقم اعشار به دست آوریم (همانطور که در صورت سوال اشاره شده، می‌توانیم از ماشین‌حساب کمک بگیریم). **یادآوری:** برای مقایسه، می‌توانیم: 1. هر دو عدد را به فرم اعشاری تبدیل کنیم. 2. هر دو عدد را به زیر رادیکال ببریم (اگر هر دو مثبت باشند). * **مقایسه اول:** * مقدار تقریبی $\sqrt{11}$: $$ \sqrt{11} \approx 3.316 \dots $$ * تبدیل کسر: $3\frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} \approx 3 + 0.333 \dots = 3.333 \dots$ * مقایسه: $3.316 \dots < 3.333 \dots$ * نتیجه: $$ \sqrt{11} < 3\frac{1}{3} $$ * **مقایسه دوم:** * مقدار تقریبی $\sqrt{17}$: $$ \sqrt{17} \approx 4.123 \dots $$ * مقایسه: $4.123 \dots > 4.03$ * نتیجه: $$ \sqrt{17} > 4.03 $$ * **مقایسه سوم:** * محاسبه $\sqrt{6/25}$: این عدد یک ریشه کامل است. $6.25 = \frac{625}{100}$. $$ \sqrt{6/25} = \sqrt{\frac{625}{100}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{100}} = \frac{25}{10} = 2.5 $$ * تبدیل کسر: $2\frac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5$ * مقایسه: $2.5 = 2.5$ * نتیجه: $$ \sqrt{6/25} = 2\frac{1}{2} $$ * **مقایسه چهارم:** * مقدار تقریبی $\sqrt{15}$: $$ \sqrt{15} \approx 3.87 \dots $$ * محاسبه سمت چپ: $1 + \sqrt{15} \approx 1 + 3.87 \dots = 4.87 \dots$ * مقایسه: $4.87 \dots > 4$ * نتیجه: $$ 1 + \sqrt{15} > 4 $$ * **مقایسه پنجم:** * مقدار تقریبی $\sqrt{20}$: $$ \sqrt{20} \approx 4.47 \dots $$ * محاسبه سمت چپ: $\sqrt{20} - 2 \approx 4.47 \dots - 2 = 2.47 \dots$ * مقدار تقریبی $\sqrt{18}$: $$ \sqrt{18} \approx 4.24 \dots $$ * مقایسه: $2.47 \dots < 4.24 \dots$ * نتیجه: $$ \sqrt{20} - 2 < \sqrt{18} $$ * **مقایسه ششم:** * **نکته مهم:** توان دوم یک رادیکال، عدد زیر رادیکال را نتیجه می‌دهد، اگر عدد زیر رادیکال نامنفی باشد. $$ (\sqrt{a})^2 = a \quad \text{برای } a \ge 0 $$ * محاسبه سمت چپ: $$ (\sqrt{3})^2 = 3 $$ * مقایسه: $3 = 3$ * نتیجه: $$ (\sqrt{3})^2 = 3 $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 113 - تمرین 3 این تمرین به شما کمک می‌کند تا رابطه بین اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد گنگ (به صورت رادیکالی) را روی محور اعداد درک کنید. برای پر کردن جاهای خالی، باید مقادیر رادیکال‌ها را محاسبه کرده و نقاط باقیمانده را بر اساس ترتیب اعداد صحیح پر کنیم. **گام اول: ساده‌سازی مقادیر رادیکالی روی محور** اعدادی که مقدار دقیقی دارند را محاسبه می‌کنیم: * $$ -\sqrt{36} = -6 $$ * $$ -\sqrt{25} = -5 $$ * $$ -\sqrt{4} = -2 $$ * $$ -\sqrt{1} = -1 $$ * $$ \sqrt{1} = 1 $$ * $$ \sqrt{4} = 2 $$ * $$ \sqrt{9} = 3 $$ * $$ \sqrt{16} = 4 $$ **گام دوم: جایگذاری و پر کردن جاهای خالی** با جایگذاری مقادیر به دست آمده و استفاده از ترتیب اعداد صحیح، جاهای خالی را پر می‌کنیم: * **سمت چپ محور (اعداد منفی):** * $-6$ (همان $-\sqrt{36}$) * $-5$ (همان $-\sqrt{25}$) * **عدد بعدی (جای خالی):** $-4$ * **عدد بعدی (جای خالی):** $-3$ * $-2$ (همان $-\sqrt{4}$) * $-1$ (همان $-\sqrt{1}$) * $0$ * **سمت راست محور (اعداد مثبت):** * $1$ (همان $\sqrt{1}$) * $2$ (همان $\sqrt{4}$) * $3$ (همان $\sqrt{9}$) * $4$ (همان $\sqrt{16}$) * **عدد بعدی (جای خالی):** $5$ * $6$ * $7$ **پاسخ نهایی با پر کردن جاهای خالی (که در پرانتز قرار دارند):** از چپ به راست: * $ -\sqrt{36} \quad -\sqrt{25} \quad \mathbf{(-4)} \quad \mathbf{(-3)} \quad (\mathbf{-2}) \quad -\sqrt{4} \quad -\sqrt{1} \quad 0 \quad \sqrt{1} \quad \sqrt{4} \quad \sqrt{9} \quad \sqrt{16} \quad \mathbf{(5)} \quad \mathbf{(6)} \quad \mathbf{(7)} \quad ... $ * همچنین جاهای خالی زیر محور نیز متناظر با جای خالی‌های بالا پر می‌شوند: * زیر $-\sqrt{36}$ می‌نویسیم $\mathbf{(-6)}$ * زیر $-\sqrt{25}$ می‌نویم $\mathbf{(-5)}$ * زیر $-4$ می‌نویسیم $\mathbf{(-\sqrt{16})}$ (یا $\mathbf{-4}$) * زیر $-3$ می‌نویسیم $\mathbf{(-\sqrt{9})}$ (یا $\mathbf{-3}$) * زیر $-2$ (جای خالی) می‌نویسیم $\mathbf{(-2)}$ (یا $\mathbf{-\sqrt{4}}$) * زیر $5$ (جای خالی) می‌نویسیم $\mathbf{(\sqrt{25})}$ (یا $\mathbf{5}$) * زیر $6$ می‌نویسیم $\mathbf{(\sqrt{36})}$ (یا $\mathbf{6}$) * زیر $7$ می‌نویسیم $\mathbf{(\sqrt{49})}$ (یا $\mathbf{7}$) برای سادگی و استفاده از منطق محور اعداد، معمولاً جواب‌های ساده‌تر را در جاهای خالی می‌نویسیم: **بالای محور:** $$ -\sqrt{36} \quad -\sqrt{25} \quad \mathbf{(-\sqrt{16})} \quad \mathbf{(-\sqrt{9})} \quad -4 \quad -3 \quad \mathbf{(-\sqrt{4})} \quad -\sqrt{1} \quad \sqrt{1} \quad \sqrt{4} \quad \sqrt{9} \quad \sqrt{16} \quad \mathbf{(\sqrt{25})} \quad \mathbf{(\sqrt{36})} \quad \mathbf{(\sqrt{49})} $$ **پایین محور:** $$ \mathbf{(-6)} \quad \mathbf{(-5)} \quad -4 \quad -3 \quad \mathbf{(-2)} \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad \mathbf{(5)} \quad \mathbf{(6)} \quad \mathbf{(7)} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 113 - تمرین 4 برای حل این تمرین، باید مختصات تقریبی نقاط A، B و C را روی محور اعداد بخوانیم و سپس اعداد داده شده را به صورت تقریبی محاسبه یا آن‌ها را با مجذورهای کامل مقایسه کنیم تا ببینیم کدام یک به مختصات نقطه مورد نظر نزدیک‌تر است. **1. بررسی نقطه A** * **موقعیت نقطه A:** نقطه A تقریباً روی عدد **$9.3$** قرار دارد (کمی جلوتر از 9 و نزدیک‌تر به 9.5). * **مقادیر تقریبی اعداد داده شده:** * $$\sqrt{79} \approx \sqrt{81} - \text{کوچک} = 9 - \text{کوچک} \approx 8.88$$ (نزدیک به 9) * $$\sqrt{98} \approx \sqrt{100} - \text{کوچک} = 10 - \text{کوچک} \approx 9.9$$ (نزدیک به 10) * $$\sqrt{81} = 9$$ (دقیقاً 9) * $$\sqrt{85} \approx \sqrt{81} + \text{کوچک} = 9 + \text{کوچک} \approx 9.21$$ (نزدیک به 9.2) * **مقایسه و دلیل:** * نقطه A در $9.3$ است. * اختلاف با $\sqrt{79} \approx 8.88$: $|9.3 - 8.88| = 0.42$ * اختلاف با $\sqrt{98} \approx 9.9$: $|9.3 - 9.9| = 0.6$ * اختلاف با $\sqrt{81} = 9$: $|9.3 - 9| = 0.3$ * اختلاف با $\sqrt{85} \approx 9.21$: $|9.3 - 9.21| = 0.09$ * **نتیجه:** عدد $\sqrt{85}$ با اختلاف $0.09$ کمترین فاصله را تا نقطه A دارد. * **دلیل:** مقدار تقریبی $\sqrt{85}$ برابر $9.21$ است، که نزدیک‌ترین مقدار به موقعیت $9.3$ نقطه A روی محور است. **2. بررسی نقطه B** * **موقعیت نقطه B:** نقطه B تقریباً روی عدد **$-1.8$** قرار دارد (بین -1 و -2، نزدیک‌تر به -2). * **مقادیر تقریبی اعداد داده شده (به صورت مثبت رادیکالی):** * $$\sqrt{12} \approx 3.46 \quad \sqrt{17} \approx 4.12 \quad \sqrt{15} \approx 3.87 \quad \sqrt{28} \approx 5.29$$ * **مقادیر تقریبی اعداد داده شده (منفی):** * $$-\sqrt{12} \approx -3.46$$ * $$-\sqrt{17} \approx -4.12$$ * $$-\sqrt{15} \approx -3.87$$ * $$-\sqrt{28} \approx -5.29$$ * **مقایسه و دلیل:** * **توجه:** نقطه B در بازه $-2 < B < -1$ قرار دارد. از بین اعداد داده شده، هیچکدام در این بازه نیستند. باید فرض کنیم نقطه B در مختصات **$-3.8$** (نزدیک به $-4$) قرار دارد، زیرا فاصله از صفر بین $-4$ و $-3$ منطقی‌تر است. * **فرض موقعیت اصلاح شده:** نقطه B در حدود **$-3.8$** است. * اختلاف با $-\sqrt{12} \approx -3.46$: $|-3.8 - (-3.46)| = 0.34$ * اختلاف با $-\sqrt{17} \approx -4.12$: $|-3.8 - (-4.12)| = 0.32$ * اختلاف با $-\sqrt{15} \approx -3.87$: $|-3.8 - (-3.87)| = 0.07$ * اختلاف با $-\sqrt{28} \approx -5.29$: $|-3.8 - (-5.29)| = 1.49$ * **نتیجه:** عدد $-\sqrt{15}$ با اختلاف $0.07$ کمترین فاصله را تا نقطه B دارد. * **دلیل:** مقدار تقریبی $-\sqrt{15}$ برابر $-3.87$ است، که نزدیک‌ترین مقدار به موقعیت تقریبی $-3.8$ نقطه B روی محور است. **3. بررسی نقطه C** * **موقعیت نقطه C:** نقطه C تقریباً روی عدد **$11.8$** قرار دارد (بین 11 و 12، نزدیک‌تر به 12). * **مقادیر تقریبی اعداد داده شده:** * **ریشه کامل:** $\sqrt{121} = 11$ * $$\sqrt{140} \approx \sqrt{144} - \text{کوچک} = 12 - \text{کوچک} \approx 11.83$$ * $$\sqrt{116} \approx \sqrt{121} - \text{کوچک} = 11 - \text{کوچک} \approx 10.77$$ * $$\sqrt{121} = 11$$ * $$\sqrt{126} \approx \sqrt{121} + \text{کوچک} = 11 + \text{کوچک} \approx 11.22$$ * **مقایسه و دلیل:** * نقطه C در $11.8$ است. * اختلاف با $\sqrt{140} \approx 11.83$: $|11.8 - 11.83| = 0.03$ * اختلاف با $\sqrt{116} \approx 10.77$: $|11.8 - 10.77| = 1.03$ * اختلاف با $\sqrt{121} = 11$: $|11.8 - 11| = 0.8$ * اختلاف با $\sqrt{126} \approx 11.22$: $|11.8 - 11.22| = 0.58$ * **نتیجه:** عدد $\sqrt{140}$ با اختلاف $0.03$ کمترین فاصله را تا نقطه C دارد. * **دلیل:** مقدار تقریبی $\sqrt{140}$ برابر $11.83$ است، که نزدیک‌ترین مقدار به موقعیت $11.8$ نقطه C روی محور است.